Question

已知a,b,c,d≧0.a+b+c+d=3求a+ab+abc+abcd的最大值

Answer 1

设a+b=3，求x=a+ab的最大值。x=a+ab=a+a(3-a)=4a-a²，0=x′=(4a-a²)′=4-2a=2(2-a)，
a=2，b=3-a=3-2=1，x最大值=a+ab=2+2×1=4。
设a+b+c=3，求y=a+ab+abc的最大值。y=a+ab+abc=a+ab+ab(3-a-b)，
ab²+a(a-4)b+(y-a)=0，设0=Δ=[a(a-4)]²-4a(y-a)，4y=a³-8a²+20a，
设0=(4y)′=(a³-8a²+20a)′=3a²-16a+20=(a-2)(3a-10)。a1=2，a2=10/3>3(舍去)。
b+c=3-a=3-2，2+2b+2bc=a+ab+abc=y最大值=(a³-8a²+20a)/4=(2³-8×2²+20×2)/4=4。
b+c=1，b+bc=1。b=1，c=0。∴当a=2，b=1，c=d=0时，(a+ab+abc+abcd)最大值=4。

Answer 2

由于a,b,c,d≧0，我们考虑将a+ab+abc+abcd写成a(1+b(1+c(1+d)))的形式。因为b(1+c(1+d))≤b+bc+bcd，c(1+d)≤c+d，所以有：

a(1+b(1+c(1+d)))≤a(1+b+bc+bcd)(1+c+d)

因为a+b+c+d=3，所以1+b+bc+bcd≤(1+b)(1+c)(1+d)。同理，我们可以得到：

a+ab+abc+abcd≤a(1+b)(1+c)(1+d)

由于a,b,c,d≧0且a+b+c+d=3，所以1+b≤2，1+c≤2，1+d≤2，所以有：

a(1+b)(1+c)(1+d)≤2a

综上所述，a+ab+abc+abcd的最大值为2。当且仅当a=2，b=c=d=0时取到最大值。