Question

(2010 河北)初三数学一道中考题(经过老师改变的)求高手详解!

(2011*河南)在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3根号3(根号27=根号3)，点M是BC的中点，点P从出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒一个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD的射线BC的同侧，点P,Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止。设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)(1)当t为何值时，四边形APQD是平行四边形? (2)当t为何值时，P，E，D三点共线?(3)当BP=1时，求三角EPQ于梯形ABCD重叠部分的面积。(4)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答:该最大值能否持续一个时段?若能，直接写出t的取值范围;若不能，请说明理由.

Answer 1

解:(1)点P向左移动t秒时,PQ=2PM=2t,令PQ=AD,即2t=6,t=3.
即当t=3秒时，四边形APQD为平行四边形;
(2)①点P从M向B运动时,若P,E,D在同一直线上,作PH垂直AD于H:
∴AH=BP=BM-PM=4-t,HD=AD-AH=2+t;又PH=BA=3√3;∠PDH=∠EPQ=60º。
tan∠PDH=tan60º=PH/HD=(3√3)/(2+t),t=1;
②当点P从B向M运动时,若P,E,D在同一直线上,作PH垂直AD于H:
则AH=BP=t-4,HD=AD-AH=6-(t-4)=10-t.
tan∠PDH=tan60º=(3√3)/(t-4),t=7.
故:当t=1或7秒时，P，E，D三点共线;
(3)①点P向B运动时,PB=1,则PE=PQ=PM+MQ=6,EM=3√3=BA.
∴S重合部分=S⊿PQE=PQ*EM/2=6*(3√3)/2=9√3;
②点P从点B向M运动时,PB=1,则t=5=MQ,PQ=8=PE.
设PE交AD于F,则AF=BM=4,FD=AD-AF=2.
S重合部分=(FD+PC)*AB/2=(2+7)*(3√3)/2=(27√3)/2.
(4)当点P与点B重合,即t=3秒时,AD被△EPQ覆盖的部分达到最大值;
当点P从点B返回,BP=1,即t=5秒时,EQ恰好经过点D,此时最大值结束.
所以,当t满足3秒≤t≤5秒时，被覆盖的线段保持最大值。