Question

设a属于(0,π/2),函数f(x)的定义域为【0,1】且f(0)=0,f(1)=1,当x≥y时,有f((x+y)/2)=f(x)sina+(1-sina)f(y

(1)求f(1/2)\f(1/4)的值
(2)求a 的值
（3）求函数g(x）=sin(a-2x)

Answer 1

根据题中给定的条件：
令x=1，y=0，有f(1/2)=f(1)sina+(1-sina)f(0)=sina
令x=1/2，y=0，有f(1/4)=f(1/2)sina+(1-sina)f(0)=sin²a
令x=1，y=1/2，有f(3/4)=f(1)sina+(1-sina)f(1/2)=2sina-sin²a
令x=3/4，y=1/4，有f(1/2)=f(3/4)sina+(1-sina)f(1/4)=3sin²a-2sin³a
∴3sin²a-2sin³a=sina
考虑到a∈(0, π/2)，那么sina∈(0, 1)，解得sina=1/2
(1) f(1/2)/f(1/4)=sina/sin²a=2
(2) a=π/6
(3) g(x)=sin(π/6-2x)
=sin(π/6)cos(2x)-cos(π/6)sin(2x)
=(1/2)(2cos²x-1)-(√3/2)(2sinx•cosx)
=cos²x-√3•sinx•cosx-1/2

Answer 2

令x=1,y=0,则有f(1/2)=sina
令x=0,y=1,则有f(1/2)=1-sina
由此求得sina=1-sina,则sina=0.5 a=30度
f(1/2)=0.5
令x=1/2,y=0则有f（1/4）=f(1/2)sina=0.5*0.5=0.25
所以f（1/2）/f(1/4)=2
g(x)=sina*sin2x-cosa*cos2x=0.5sin2x-0.866cos2x

Answer 3

解：（1）f（
1
2
）=f（
1+0
2
）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sin α．
f（
1
4
）=f（
12+0
2
）=f（
1
2
）sinα+（1-sinα）f（0）=sin2α．
（2）∵f（
3
4
）=f（
1+12
2
）=f（1）sinα+（1-sinα）f（
1
2
）=sinα+（1-sinα）sinα=2sinα-sin2α．
f（
1
2
）=f（
34+14
2
）=f（
3
4
）sinα+（1-sinα）f（
1
4
）=（2sinα-sin2α ）sinα+（1-sinα）sin2α=3sin2α-2sin3α，
∴sinα=3sin2α-2sin3α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α=
1
2
．
∵α∈(0，
π
2
)，∴sin α=
1
2
，α=
π
6
．
（3）函数g（x）=sin（α-2x）=sin（
π
6
-2x）=-sin（2x-
π
6
），令 2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈z，可得 kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
，
故函数g（x）的减区间为[kπ-
π
6
，kπ+
π
3
]，k∈z．
令 2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，可得 kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
6
，故函数g（x）的增区间为[kπ+
π
3
，kπ+
5π
6
]，k∈z．