Question

如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,若E是BC的中点,ED的延长线交BA的延长线

于点F，求证：AB:BC=DF:BF.

Answer 1

证明，

因为BD垂直AC，所以三角形BCD是直角三角形。又E是BC中点，所以DE是斜边BC上的中线。因此BE=DE=CE，且角DCE=角CDE。
因为角FDA和角CDE是对顶角，所以角FDA=角CDE=角DCE
又角FBD=90-角DBC=角DCB，所以角FBD=角FDA
因此在三角形FDA和FBD中，角F是公用角，角FBD=角FDA，所以两个三角形相似。
因此DF:BF=AD:BD
在直角三角形ADB和直角三角形ABC中，角ABD=角ACB已经得证，所以两个三角形相似，
因此AD:DB=AB:BC
所以AB:BC=AD:DB=DF:BF