Question

函数极限问题(有关等价无穷小的证明)

1.n->0时 arcsin(x)/x 的极限是? 2.n->0时 arctan(x)/x 的极限是? 3.n->0时 ((1+x)^a)/(a*x) 的极限是?(其中a<>0)

Answer 1

这个就是等价无穷小啊
证明在任何一本数学分析或高等数学书上面都有的
我帮你证明一个
n->0
lim(arc
sin
x/x)=1
证明：根据基本不等式
sin
x<
x
<
tan
x
,
0<
x
<
pai/2
（基本不等式的推导可以画一个单位圆，然后对同一圆心角找到能够代表sin
x数值和tan
x数值的线段，通过围成三角形的面积比较可以得到这个不等式）
分别取倒数再乘以sin
x得到
cos
x<
sin
x/x
<
1
因为这三个都是偶函数
所以推得不等式在(-pai/2,0)也成立
由于n->0时，lim
cos
x=1,
lim
1=1
根据极限的夹逼性
得到n->0时，lim
sin
x/x=1
根据极限运算规则，可得lim
x/sin
x=1
然后，令U=arcsin
x,
因为x->0所以U->0
则lim
arcsin
x/x
=lim
U/sin
U
=1
证明完毕