Question

定积分关于y轴旋转体积的两种公式

定积分的应用里面有一个是求沿着Y轴旋转的曲线的体积
老师给了两个公式
一个是V=∫[a b] π*f(y)^2*dy 其中y=a,y=b；
一个是V=∫[a b] 2πx*f(x)dx 其中x=a,x=b；
为什么我用这两个公式算相同的一个题目会结果不一样啊!哪个是错的?
题目是x=y^2 在[0,1]上饶Y轴旋转成的V
第一种：∫[0 1] π(y^2）^2dy=πy^5/5|[1 0]=π/5
第二种：∫[0 1] 2πx*x^(1/2)dx=2π2x^(5/2)/5|[1 0]=4π/5

Answer 1

您可能是听课没听全，或者老师只讲了关键部分。老师说是两种思路，第一种是底面积×高，第二种是截面积×展开后的长度。最后在积分，求得都是体积。

Answer 2

一个是V=∫[a b] π*f(y)^2*dy 其中y=a,y=b；
一个是V=∫[a b] 2πx*f(x)dx 其中x=a,x=b；
前者是绕y轴形成的旋转体的体积公式
后者是绕x轴形成的旋转体的侧面积公式