Question

微积分怎么学?如何反导数???

Answer 1

反导数，即不定积分的求法，是求导数的逆过程
当你学了求导数后，就会求积分了
不定积分的主要求法：
第一换元法：
包括显式代入法和隐式代入法
显式代入法，即令t
=
...
g(x)，dt
=
...
g(x)
dx这种的形式，主要是化简积分式子
隐式代入法，即凑微分法，利用微分的原理进行隐性代入
例如∫
√(1
+
x)
dx
=
∫
√(1
+
x)
d(1
+
x)，过程中可看到dx变为d(1
+
x)
这是微分法，d(1
+
x)
=
(1)'dx
+
(x)'dx
=
0
+
(1)dx
=
dx
第二换元法：主要是用三角函数代入法以达到消除根号的效果
对于√(a²
-
x²)、1/√(a²
-
x²)、√(a²
-
x²)/x等等，令x
=
a*sinθ
或
x
=
a*cosθ
对于√(a²
+
x²)、1/√(a²
+
x²)、√(a²
+
x²)/x等等，令x
=
a*tanθ
或
x
=
a*cotθ
对于√(x²
-
a²)、1/√(x²
-
a²)、√(x²
-
a²)/x等等，令x
=
a*secθ
或
x
=
a*cscθ
如果被积函数中有复杂的三角函数，如sinθ/(sin²θ
+
cos³θ)，可考虑用万能代换u
=
tan(x/2)
但要注意第三个代入法，即令x
=
a*secθ
或
x
=
a*cscθ，他们的反函数都是断续的，需分区间讨论
分部积分法：这是透过导数的乘法法则而来的
即∫
vdu
=
uv
-
∫
udv的形式，目地是能对复杂部分的被积函数求导以进行化简
通常第一步是凑微分，例如∫
xcosx
dx
=
∫
x
dsinx
=
xsinx
-
∫
sinx
dx
但有些则直接用，例如∫
lnx
dx
=
xlnx
-
∫
x
d(lnx)
=
xlnx
-
∫
dx
根据规则反对幂指三来做，即
反三角函数：arcsin(x)，arctan√[x
-
√(1
-
x²)]，arcsec(x/2)等
对数函数：lnx，ln[x
+
√(1
+
x²)]，log_7(8x)等
幂函数：x³，x^(8a)，x^(17)等
指数函数：e^(6x)，a^(5x)等
三角函数：sinx，tan(8x)，sec(7x)
反三角函数最复杂，所以做v，而三角函数最简单，所以做u
有些积分会出现循环现象，只需移位即可，例如
∫
e^x*cosx
dx
=
∫
e^x
dsinx
=
e^x*sinx
-
∫
sinx
de^x
=
e^x*sinx
-
∫
e^x*sinx
dx
=
e^x*sinx
-
∫
e^x
d(-cosx)
=
e^x*sinx
+
e^x*cosx
-
∫
cosx
de^x
=
e^x*sinx
+
e^x*cosx
-
∫
e^x*cosx
dx，可见∫
e^x*cosx
dx与原先的积分重复了，所以移到等号左边
2∫
e^x*cosx
dx
=
(sinx
+
cosx)*e^x，移到左边相加，然后两边都除以常数，使左边变回原式样子
∫
e^x*cosx
dx
=
(1/2)(sinx
+
cosx)*e^x
+
C，C为任意常数
有理积分法：即利用部分分式和待定系数法原理，将一个大分式拆解为数个小分式进行化简
例如求∫
dx/[(x
+
1)(x²
+
1)]，这样的形式很难求，于是采用有理积分法
设1/[(x
+
1)(x²
+
1)]
=
A/(x
+
1)
+
(Bx
+
C)/(x²
+
1)，分子比分母少一次指数
右边通分得1/[(x
+
1)(x²
+
1)]
=
[A(x²
+
1)
+
(Bx
+
C)(x
+
1)]/[(x
+
1)(x²
+
1)]
分母相同，只看分子：1
≡
A(x²
+
1)
+
(Bx
+
C)(x
+
1)，这是个恒等式，无论x代入什么数字，两边都相等
解法一：代入x
=
-1，1
=
A(2)
+
0，得出A
=
1/2
代入x
=
0，1
=
A
+
C
=
1/2
+
C，得出C
=
1/2
代入x
=
1，1
=
(1/2)(2)
+
(B
+
1/2)(2)
=
1
+
2B
+
1，得出B
=
-1/2
即1/[(x
+
1)(x²
+
1)]
=
1/[2(x
+
1)]
+
(-
x
+
1)/[2(x²
+
1)]
所以∫
dx/[(x
+
1)(x²
+
1)]
=
(1/2)∫
dx/(x
+
1)
+
(1/2)∫
(-
x
+
1)/(x²
+
1)
dx
解法二：1
≡
A(x²
+
1)
+
(Bx
+
C)(x
+
1)，拆开括号
1
=
Ax²
+
A
+
Bx²
+
Cx
+
Bx
+
C，再将同类项组起
0x²
+
0x
+
1
=
(A
+
B)x²
+
(B
+
C)x
+
(A
+
C)，再比较两边的系数，得
A
+
B
=
0
B
+
C
=
0
A
+
C
=
1
解方程，得：A
=
1/2，B
=
-1/2，C
=
1/2
所以1/[(x
+
1)(x²
+
1)]
=
1/[2(x
+
1)]
+
(-
x
+
1)/[2(x²
+
1)]
要用的公式其实还有许多，有数百条，但上面的方法已经足够解一般的题目了。
求完不定积分，记住别忘了常数C，这个代表任意常数，要在题目给定足够的条件才能求得
例如给了一个坐标，再代入结果，就找到常数C的值了。