Question

已知函数f（x）=lnx+ax-1，a∈R（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程；...

已知函数f（x）=lnx+ax-1，a∈R （Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线方程； （Ⅱ）若不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵x＞0，f′（x）=
1
x
+a，…3分
∴f′（1）=a+1，切点是（1，a+1），…5分
所以切线方程为y-（a+1）=（a+1）（x-1），即y=（a+1）x．…6分
（Ⅱ）解法一：∵x＞0，f′（x）=
1+ax
x
，
①当a≥0
时x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x），单调递增，
显然当x＞1
时，f（x）＞0，f（x）≤0不恒成立．…8分
②当a＜0
时，x∈（0，-
1
a
），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
x∈（-
1
a
，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，…10分
∴f（x）max=f（x）最大值=f（-
1
a
）=ln≤0（-
1
a
），∴a≤-1，
所以不等式f（x）≤0
恒成立时，a的取值范围（-∞，-1]…14分
（Ⅱ）解法二：∵x＞0
所以不等式f（x）≤0
恒成立，等价于
ax≤=-lnx-1，即a≤
-lnx-1
x
令h（x）=
-lnx-1
x
，
则h′（x）=-
1-lnx
x2
+
1
x2
=
lnx
x2
，当
x∈（0，1）时，
h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）
时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．…12分
∴h（x）min=h（x）最小值=h（1）=-1，∴a≤-1．
∴不等式f（x）≤0
恒成立时，a的取值范围（-∞，-1]．…14分