已知函数f(x)=lnx+ax-1,a∈R(Ⅰ)求f(x)在x=1处的切线方程;...

已知函数f(x)=lnx+ax-1,a∈R(Ⅰ)求f(x)在x=1处的切线方程;(Ⅱ)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范围.... 已知函数f(x)=lnx+ax-1,a∈R (Ⅰ)求f(x)在x=1处的切线方程; (Ⅱ)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范围. 展开
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让默才萦心
2020-02-18 · TA获得超过3772个赞
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(Ⅰ)解:∵x>0,f′(x)=
1
x
+a,…3分
∴f′(1)=a+1,切点是(1,a+1),…5分
所以切线方程为y-(a+1)=(a+1)(x-1),即y=(a+1)x.…6分
(Ⅱ)解法一:∵x>0,f′(x)=
1+ax
x

①当a≥0
时x∈(0,+∞),f′(x)>0,f(x),单调递增,
显然当x>1
时,f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.…8分
②当a<0
时,x∈(0,-
1
a
),f′(x)>0,f(x)单调递增,
x∈(-
1
a
,+∞),f′(x)<0,f(x)单调递减,…10分
∴f(x)max=f(x)最大值=f(-
1
a
)=ln≤0(-
1
a
),∴a≤-1,
所以不等式f(x)≤0
恒成立时,a的取值范围(-∞,-1]…14分
(Ⅱ)解法二:∵x>0
所以不等式f(x)≤0
恒成立,等价于
ax≤=-lnx-1,即a≤
-lnx-1
x
令h(x)=
-lnx-1
x

则h′(x)=-
1-lnx
x2
+
1
x2
=
lnx
x2
,当
x∈(0,1)时,
h′(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)
时,h′(x)>0,h(x)单调递增.…12分
∴h(x)min=h(x)最小值=h(1)=-1,∴a≤-1.
∴不等式f(x)≤0
恒成立时,a的取值范围(-∞,-1].…14分
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