Question

高数题证明题，求过程

第19题

Answer 1

第一问：连续性用定义去做。对任意ε，取δ=ε/l即可。(注：实际上是一致连续)
第二问：构造函数g(x)=f(x)－x。则
g(a)=f(a)－a≥0，g(b)=f(b)－b≤0。
然后利用连续函数的介值性。
存在ξ，使得f(ξ)=ξ。
唯一性，如果存在ξ'≠ξ，使得f(ξ')=ξ'。
则|f(ξ')－f(ξ)|=|ξ'－ξ|≤l|ξ'－ξ|。由于l∈[0，1)，故矛盾。因此唯一。
第三问：由于f(x)∈[a,b]有界。故{x_n}存在聚点。因此有收敛的子列。x_{k_n}=f(x_{k_{n－1}})，由于函数连续。两边取极限有f(x)=x。由第二问知该极限唯一(对于所有的收敛的子列极限值一样)。因此该数列函数极限存在，且为ξ。