Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若acosB-bcosA=3...

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若acosB-bcosA=35c，则tan（A-B）的最大值为_____．

Answer 1

34
解：∵acosB-bcosA=35c，
∴结合正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=35sinC，
∵C=π-（A+B），得sinC=sin（A+B）
∴sinAcosB-sinBcosA=35（sinAcosB+cosAsinB）
整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB
由此可得tan（A-B）=tanA-tanB1+tanAtanB=3tanB1+4tan2B=31tanB+4tanB
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0
∵1tanB+4tanB≥2√1tanB•4tanB=4
∴tan（A-B）=31tanB+4tanB≤34，当且仅当1tanB=4tanB，即tanB=12时，tan（A-B）的最大值为34
故答案为：34