Question

设函数y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）=f（x）-2x在区间...

设函数y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，若g（x）=f（x）-2x在区间[2，3]上的值域为[-2，6]，则函数g（x）在[-12，12]上的值域为（ ） A．[-2，6] B．[-20，34] C．[-22，32] D．[-24，28]

Answer 1

分析：由已知不妨设g（x）=-2，g（x1）=6，x，x1∈[2，3]，利用f（x）的周期为1可求g（x+n）．同理可求g（x1+n）．再利用函数的单调性可求g（x）在[-12，12]上的最小值、最大值，从而得g（x）在[-12，12]上的值域．
解答：解：由g（x）在区间[2，3]上的值域为[-2，6]，可设g（x）=-2，g（x1）=6，x，x1∈[2，3]，g（x）=f（x）-2x=-2，
∵y=f（x）是定义在R上以1为周期的函数，∴g（x+n）=f（x+n）-2（x+n）=f（x）-2x-2n=-2-2n．
同理g（x1+n）=6-2n，
12-3=9，于是g（x）在[-12，12]上的最小值是-2-2×9=-20；-12-2=-14，于是g（x）在[-12，12]上的最大值是6-2（-14）=34．
∴函数g（x）在[-12，12]上的值域为[-20，34]．
故选B．
点评：本题考查了函数的值域、函数的周期性及其应用，考查了利用所学知识解决问题的能力．