Question

已知数列{an}满足a1=2，an+1=an?1an+1（n∈N*），则a30=（　　）A．2B．13C．-12D．-

已知数列{an}满足a1=2，an+1=an?1an+1（n∈N*），则a30=（ ）A．2B．13C．-12D．-3

Answer 1

∵数列{an}满足：a1=1，an+1=
an
an+2
，（n∈n*），
∴
1
an+1
＝
2
an
+1，化为
1
an+1
+1＝2(
1
an
+1)，
∴数列{
1
an
+1}是等比数列，首项为
1
a1
+1=2，公比为2，
∴
1
an
+1＝2n，
∴bn+1=（n-λ）（
1
an
+1）=（n-λ）?2n，
∵b1=-λ，且数列{bn}是单调递增数列，
∴bn+1＞bn，
∴（n-λ）?2n＞（n-1-λ）?2n-1，
化为λ＜n+1，
∵数列{n+1}为单调递增数列，
∴λ＜2．
∴实数λ的取值范围为λ＜2．
故答案为：λ＜2．

Answer 2

∵数列{an}满足a1=2，an+1=
an?1
an+1
=1-
2
an+1
（n∈N*），
∴a2=1-
2
3
=
1
3
，
a3=1-
2
1
3
+1
=-
1
2
，
a4=1-
2
?
1
2
+1
=-3，
a5＝1?
2
?3+1
=2，
∴{an}是周期为4的
周期数列
，
∵30=4×4+2，
∴
a30
=a2=
1
3
．
故选：B．