Question

(1+X)+(1+X)^2+...+(1+X)^n展开式中所有二项式系数和为

Answer 1

解答：下面用c(n,k)表示下标是n的组合数。
在(1+x)^2n中，x^n的系数是c(2n,n)；
在x(1+x)^(2n-1)中，x^n的系数是c(2n-1,n-1)；
在x^2(1+x)^(2n-2)中，x^n的系数是c(2n-2,n-2)；
......
在x^k(1+x)^(2n-k)中,x^n的系数是c(2n-k,n-k)；
......
在x^(n-1)(1+x)^(n+1)中,x^n的系数是c(n+1,1)；
在x^n(1+x)^n中，x^n的系数是c(n,0)；
将以上“x^n的系数”全部相加，得：
c(2n,n)+c(2n-1,n-1)+c(2n-2,n-2)+...+c(2n-k,n-k)+...+c(n+1,1)+c(n,0)
将上式倒着写出来，再求和：
c(n,0)+c(n+1,1)+c(n+2,2)+...+c(2n-2,n-2)+c(2n-1,n-1)+c(2n,n)
=c(n+1,0)+c(n+1,1)+c(n+2,2)+...+c(2n-2,n-2)+c(2n-1,n-1)+c(2n,n)(改写了第一项的下标）
＝c(n+2,1)+c(n+2,2)+...+c(2n-2,n-2)+c(2n-1,n-1)+c(2n,n)(前两项求了和)
＝c(n+3,2)+...+c(2n-2,n-2)+c(2n-1,n-1)+c(2n,n)(前两项求了和)
＝......(始终前两项求和)
＝c(2n-2,n-2)+c(2n-2,n-2)+c(2n-1,n-1)+c(2n,n)
＝c(2n-1,n-2)+c(2n-1,n-1)+c(2n,n)
＝c(2n,n-1)+c(2n,n)
＝c(2n+1,n).
所求的x^n的系数是c(2n+1,n).