Question

用向量法证明三角形的三条中线交于一点

Answer 1

下面提供您2种证法,请君自便,(向量表示符号弄不出,可能给您带来阅读等方面不便,在此深表歉意.)
证法1
先做图,做出过B,
C的两条中线,分别交AC于M,交AB于N,所以M,N是AC,AB的中点.连接MN
设向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ为不等于0的实数)
向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN,
向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM
所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN
即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量
因为向量PM与向量PN不共线,所以λ=2,μ=2
所以向量BP=2向量PM
由此证得两中线交点把BM分成2:1.同理可证另一条中线与BM的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2
得证.
证法2
作出一个三角形ABC,设D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,在平面上任取一点O,设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c
则向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a).
再设P为AD上的三等分点，满足向量AP=2向量PD，
则向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3
*
1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，P也是BE，CF的三等分点，因此三条中线交于点P。
三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2