Question

在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N...

在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n+1（n∈N*） （1）求证：数列{an-2n}为等差数列； （2）设数列{bn}满足bn=log2（an+1-n），若(1+1b2)(1+1b3)(1+1b4)…(1+1bn)＞k√n+1对一切n∈N*且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）（an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1
故数列{an-2n}为等差数列，且公差d=1．
an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；
（2）由（1）可知an=2n+n-1，∴bn=log2（an+1-n）=n
设f（n）=(1+1b2)(1+1b3)(1+1b4)…（1+1bn）×1√n+1，（n≥2）
则f（n+1）=(1+1b2)(1+1b3)(1+1b4)…（1+1bn）×（1+1bn+1）×1√n+2，
两式相除可得f(n+1)f(n)=（1+1bn+1）×√n+1√n+2=√n+2√n+1＞1，
则有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=√32，
要使(1+1b2)(1+1b3)(1+1b4)…(1+1bn)＞k√n+1对一切n∈N*且n≥2恒成立，
必有k＜√32；
故k的取值范围是k＜√32．