Question

已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2n-1（n∈N*）． （1）求...

已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2n-1（n∈N*）． （1）求证数列{an+n}是等比数列，并求an （2）若数列{bn}中1＞2=6，前n项和为Tn，且9Tn-a=（an+n）bn（n∈N*），求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用构造法求通项公式，将an+1=3an+2n-1写成an+1+（n+1）=3（an+n）即可证明数列{an+n}是等比数列，进而求得通项公式；
（2）首先将an的通项公式代入9Tn-a=（an+n）bn整理得到2Tn-2n=nbn
然后求出当n=n+1时的式子，再两式相减，求得bn+2-bn+1=bn+1-bn判断出{bn}是等差数列；由
由9b1-1=3b1
得b1=2，进而求出公差，即可得到通项公式．
解答：解：（1）由题设得an+1+（n+1）=3（an+n）∵a1+1=3
∴{an+n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴an+n=3n
∴an=3n-n
（2）∵9Tn-a=（an+n）bn（n∈N*），即32Tn-2n=3nbn
∴2Tn-2n=nbn
①
由①得2Tn+1-2（n+1）=（n+1）bn+1
②，
②-①得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn
即（n-1）bn+1-nbn+2=0
③
由③得nbn+2-（n+1）bn+1+2=0
④
④-③得nbn+2-2nbn+1+nbn=0
∴bn+2-bn+1=bn+1-bn
∴{bn}是等差数列
由9b1-1=3b1
得b1=2，又∵b2=6
∴公差d=4
∴bn=b1+（n-1）d=4n-2
点评：本题考查了数列的递推式和数列的通项公式，此题采用了构造法求通项公式，难度较大，属于难题．