Question

设a>0,函数f(x)=1/2x^2-(a+1)x+alnx

求函数f(x)的极值点。

Answer 1

解：
（1）由函数f(x)=1/2x^2-(a+1)x+alnx
，可知f(x)在x>0上有意义且是连续的，且在此区间上处处可导，且
f'(x)=x-(a+1)+a/x
（2）令f'(x)=0，得到驻点x=1，x=a；
（3）当0<a<1时，在（0，a）内,f'(x)>0；在（a，1）内，f'(x)<0；在（1，正无穷）内f'(x)>0
x
（0，a）
a
（a，1）
1
（1，正无穷）
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
所以当0<a<1时，f(x)的极大值点是x=a，极小值点是x=1；
当a=1时，只有一个驻点x=1；在（0,正无穷）内f'(x)>=0，是单调增函数，没有极值点；
当a>1时,在（0，1）内,f'(x)>0；在（1，a）内，f'(x)<0；在（a，正无穷）内f'(x)>0
x
（0，1）
1
（1，a）
a
（a，正无穷）
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
所以当a>1时，f(x)的极大值点是x=1，极小值点是x=a。