Question

设向量a=（λ+2，λ2-3cos2α），b=（m，m2+sinαcosα）其中...

设向量a=（λ+2，λ2-3cos2α），b=（m，m2+sinαcosα）其中λ，m，α为实数． （Ⅰ）若α=π12，且a⊥b，求m的取值范围； （Ⅱ）若a=2b，求λm的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）α=π12时，a=（λ+2，λ2-32），b=（m，m2+14），
由于a⊥b，则a•b=0，即有（λ+2）m+（λ2-32）（m2+14）=0，
即有2m+14λ2+mλ+10m-38=0对一切λ∈R均有解，
当m=-12时，λ=2成立，
当m≠-12时，△=m2-4×2m+14×10m-38≥0，
-1-106≤m≤-1+106，且m≠-12，
综上，可得，m的取值范围是[-1-106，-1+106]；
（Ⅱ）a=2b，则λ+2=2m且λ2-3cos2α=m+2sinαcosα，
消去λ，得（2m-2）2-m=sin2α+3cos2α，
即有4m2-9m+4=2sin（2α+π3）∈[-2，2]，
由-2≤4m2-9m+4≤2，解得，14≤m≤2，
则λm=2m-2m=2-2m∈[-6，1]．
则有λm的取值范围是[-6，1]．