Question

三重积分的计算

Answer 1

性质

三重积分
性质1
∫∫∫kf（x，y，z）dv=k∫∫∫f（x，y，z）dv （k为常数）。
Ω Ω
性质2
线性性质：
设α、β为常数，则∫∫∫[αf(x,y,z)±βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv±β∫∫∫g(x,y,z)]dv。
Ω Ω Ω
性质3
如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
性质4
如果在G上，且f(x,y,z）═1，v为G的体积，则v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.
Ω Ω
性质5
如果在G上，f(x,y,z）≤φ（xyz），则有，∫∫∫f(xyz)dv≤∫∫∫φ（x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.
ΩΩ Ω Ω
性质6
设M、m分别为f(x,y,z）在闭区域G上的最大值和最小值，v为G的体积，则有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.
Ω
性质7（积分中值定理）
设函数f(x,y,z）在闭区域G上连续，v是G的面积，则在G上至少存在一个点（ζ，η，μ）使得
∫∫∫f(x,y,z)dv═f（ζ，η，μ）v。
Ω