Question

高一 函数 题要详细过程 谢谢！

已知f(x)=m-(1/(1+a^x)),(a>0,且a≠1,x∈R)
沿着射线y=-x(x>=0)的方向，将f(x)的图像平移√2/2个单位，求g(x)的解析式，及对称中心

Answer 1

（1）设f(x)上任意一点(x0，y0)沿y=-x(x>=0)方向平移√2/2个单位，（注意y=-x射线的倾斜角）
得到g(x)上的点(x,y)，则有下面的两个关系式 x=x0+√2/2*cos45度=x0+1/2，y=y0-√2/2*sin45度=y0-1/2；
从而x0=x-1/2，y0=y+1/2；因为 y0=m-1/(1+a^x0)，所以
y+1/2=m-1/(1+a^(x-1/2))，即y=m-1/2-1/(1+a^(x-1/2))；
g(x)=m-1/2-1/(1+a^(x-1/2))；
（2）对于一般的函数f(x)，如果f(x)关于某个点对称（不妨设这个对称中心为(p,q)），则对于任意x，满足f(p+x)+f(p-x)=2q
题中的g(x)为有对称中心，由于g(x)由f(x)平移而来，所以f(x)也有对称中心，设为(p，q)，将上述关系式代得 m-1/(1+a^(p+x))+m-1/(1+a^(p-x))=2q，即
(a^(p+x)+a^(p-x)+2)/(a^(p+x)+a^(p-x)+1+a^(2p))=2(m-q)，由x的任意性，左边必有2=1+a^(2p)，即p=0；从而左边=右边=1=2(m-q)，从而q=m-1/2，从而f(x)的对称中心为(0，m-1/2)，g(x)的对称中心也由f(x)的对称中心沿y=-x(x>=0)方向平移√2/2个单位而来
所以 g(x)的对称中心为(0+1/2,m-1/2-1/2)，即(1/2，m-1)

Answer 2

√2/2 啥呀

Answer 3

x坐标值的变化为(√2/2)/√2=1/2;
y坐标值的变化为-(√2/2)/√2=-1/2.
则:
g(x)-(-1/2)=f(x-1/2)
g(x)+1/2=m-(1/(1+a^(x-1/2)))
=(m-1/2)-( 1/(1+a^(x-1/2)) )

=(m-1/2)-( a^(1/4-x/2) / (a^(1/4-x/2)+a^(x/2-1/4) ) )
令1/4-x0/2,则x0=1/2.
而y0=m-1/2
故g(x)=(m-1/2)-( 1/(1+a^(x-1/2)) );
对称中心(1/2,m-1/2)