Question

解数学题

如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为高，BE平分∠ABC交AD于F、AC于E，FG‖BC交AC于G，求证：AE＝GC

Answer 1

因为 △ABD∽△CBA ，故 BA/BD=BC/BA
由角平分线性质，及FG‖BC，有
BA/BD = AF/FD = AG/GC
BC/BA = EC/AE
故 AG/GC = EC/AE
由 (AG+GC)/GC = (EC+AE)/AE (等比定理)
AC/GC = AC/AE
所以 GC = AE

Answer 2

证明：过E作EM⊥BC于M，连结FM。则AD‖EM且AE=EM（角分线性质）
在Rt△FBD和Rt△EBA中，∠ABE=∠DBF，故∠BFD=∠BEA，
又∠BFD=∠AFE，故∠AFE=∠BEA，所以AF=AE=EM，所以四边形AFME为平行四边形，
所以FM‖AE且FM＝AE，由FG‖BC，FM‖AE知四边形FMGE为平行四边形，
所以FM＝GC，又FM＝AE所以AE＝GC。

Answer 3

zslh514657971 ，你好：

证明：过E作EM⊥BC
∵BE平分∠ABC，∠A＝90°，EM⊥BC
∴AE＝EM，∠ABE＝∠CBE，∠EMC＝90°
∵AD⊥BC
∴∠CBE＋∠BFD＝90°
∵∠AFE＝∠BFD
∴∠CBE＋∠AFE＝90°
又∵∠ABE＋∠AEB＝90°
∴∠AEB＝∠AFE
∴AF＝AE
∴AF＝EM
∵FG‖BC
∴∠AGF＝∠C，∠AFG＝∠ADC＝90°
∴∠AFG＝∠EMC
∴△AFG≌△EMC（BSB）
∴AG＝EC
∴AE＝CG

Answer 4

证明：
过E作EM⊥BC
因为BE平分∠ABC，∠A=90°，EM⊥BC
所以AE＝EM，∠ABE＝∠CBE，∠EMC＝90°
因为AD⊥BC
所以∠CBE＋∠BFD＝90°
因为∠AFE＝∠BFD
所以∠CBE＋∠AFE＝90°
又因为∠ABE＋∠AEB＝90°
所以∠AEB＝∠AFE
所以AF＝AE
所以AF＝EM
因为FG//BC
所以∠AGF＝∠C，∠AFG＝∠ADC＝90°
所以∠AFG＝∠EMC
所以△AFG≌△EMC（BSB）
所以AG＝EC
所以AE＝CG