Question

已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)对称,且满足f(x)=-f...

已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(-34,0)对称,且满足f(x)=-f(x+32),又f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)=______.

Answer 1

因为函数f(x)满足f(x)=-f(x+
3
2
),则f(x)=f(x+3)
又f(-1)=1,f(0)=-2,则f(-1)=f(-1+3)=f(2),又f(0)=f(0+3)=f(3).
又函数f(x)的图象关于点(-
3
4
,0)对称,
f(-1)=f(-
1
2
)=f(-
1
2
+
2
3
)=f(1)所以f(1)+f(2)+f(3)=0.
又f(1+3)=f(4),f(2+3)=f(5),f(3+3)=f(6)…又
2008
3
= 669+1.
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)=f(1)=f(-1)=1
故答案为1.