Question

有关导数的证明题

Answer 1

（1）
若g(a)g(b)=0.
则g(a)=0
或g(b)=0,
如果
g(a)=0,
则a至少是f(x)的二重根（不合），
同理g(b)=0
也不合。
若g(a)g(b)<0,
则g(a)与g(b)
异号，
由连续函数根的存在性定理知，多项式g(x)在开区间(a,b)内至少有一个根c，
于是
f(x)在a,b
之间还有另一个根c（不合，因为a，b是相邻的根）
综上，只能有
g(a)g(b)>0
（2）由于
f(a)=f(b)
f(x)是个多项式，因此其导数
f'(x)
在区间[a,b]上连续，由洛尔定理知在开区间(a,b)内存在一个点c，
使f'(c)=0
证毕。