Question

数学问题4道。对数函数/反函数

1.已知f(x)=(lgx-1)/(lgx+1),则f-1[反函数] (1/10)=
2.定义域为R的奇函数f(x),当X<0时,f(x)=2的X次方，则f-1(-1/4)的值为
3.函数y=f(x)的图像与y=2的X次方的图像关于直线y=x对称,则函数y=f(4x-x2)的递区间是4.函数f(x)=log2[1-(1/2)的X次方]的值域是
答案+过程，好的追分

Answer 1

（1）设f^(-1)(1/10)=y，则有f(y)=(lgy-1)/(lgy+1)=1/10，从而lgy=11/9，y=10^(11/9)；
（2）x>0，-x<0，由于f(x)在R上是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-2^(-x) [x>0]，设f^(-1)(-1/4)=y，则有
f(y)=-1/4<0，此时必有y>0（这个根据f(x)在x>0与x<0)时的函数解析式简单判断一下）从而
f(y)=-2^(-y)=-1/4，所以y=2；
（3）一般的结论是，函数f(x)关于直线y=x对称的函数g(x)是f(x)的反函数，因为任意的一点(x,y)
关于直线y=x对称的点都是(y，x)，若y=f(x)，则有x=f^(-1)(y)，所以(y，x)在f(x)的反函数图像
上，所以g(x)为f(x)的反函数
回到题中f(x)与y=2^x关于y=x对称，所以f(x)为y=2^x的反函数，所以f(x)=log2(x)，f(x)在R上是递增的，所以f(4x-x^2)的增区间即是4x-x^2的递增区间，且要满足4x-x^2>0，从而x范围为[2，4)
（4）1-(1/2)^x的值域（考虑其本身构成f(x)=log2(x)的定义域）为(0，1)，从而
f(x)=log2(1-(1/2)^x)的值域为(-无穷，0)