Question

求曲线方程的常用方法

Answer 1

求曲线方程的几种常用方法
求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有：
1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（ ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。
例1：在直角△ABC中，斜边是定长 ，求直角顶点C的轨迹方程。
解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB所在的直线为 轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为 轴(如图)．则有A ，B 。
设动点C为 ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
由于C点到达A、B位置时直角三角形ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点，
故所求方程为 （ ）。
解法二：如解法一建立直角坐标系，设A ，B ，C
∵ ， （1）
∴ ， （2）
化简得： ， （3）
由于在 时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为 （ ）。
解法三：如解法一建立直角坐标系，设A ，B ，且设动点C 。
∵ ， ∴ ，即 。
轨迹中应除去A、B两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为 （ ）。
说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用 表示曲线上任意点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合 ；
(3)用坐标表示 ，列出方程 ；
(4)化简方程 为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤经常省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点。）。
这种按照上述五个步骤来求曲线方程的方法，又称“五步法”或“条件直译法”，这是求曲线方程的基本方程。本例虽然有三种解法，但实质上都是利用等量关系，直接求出轨迹的方程。
2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。
例2：已知一条长为6的线段两端点A、B分别在 、 轴上滑动，点M在线段AB上，且 ，求动点M的轨迹方程。
解：设A ，B ，M ，
一方面，∵ ，∴ ， ①
另一方面，M分 的比为 ，
∴ ②
②代入①得： ，即 。
说明：本例中，由于M点的坐标随着A、B的变化而变化，因而动点M的坐标 可以用A、B点的坐标来表示，而点M又满足已知条件，从而得到M的轨迹方程。此外，与上例一样，求曲线的方程时，要充分注意化简过程是否完全同解变形，还要考虑曲线上的一些特殊点。
3．几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。
例3：如图，已知两定点A（ ），B（ ），O为原点，动点P与线段AO、BO所张的角相等，求动点P的轨迹方程。
解：设P ，由题 ，由三角形角平分线定理有 ，
∴ ，
整理得 ，当 时， ，P和O重合，无意义，∴ ，
又易知P落在 轴上时，除线段AB以外的任何点均有 ，
∴ （ 或 ）也满足要求。
综上，轨迹方程为 （ ）或 （ 或 ）。
说明：本例利用平面几何的知识（三角形的角平分线定理进行解题），方便了求轨迹的方程。
4．参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量（参数），使 之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点的轨迹方程。
例4：过不在坐标轴上的定点M ,的动直线交两坐标轴于点A、B，过A、B作坐标轴的垂线交于点P，求交点P的轨迹方程。
解：设P ，并设过M的动直线为： ，
由于与坐标轴交于A、B两点，所以 必存在，且 ，
则A（ ），B（ ），所以P（ ），
即 ，
消去参数 ，即： 。
说明：本题由 把 联系在一起， 称之为参数。由于P点是直线的交点，则P的坐标一定会满足这两条动直线的方程，解出 ，消去参数 就得到了 的关系，这种求曲线方程的方法称为参数法。
以上介绍了求曲线方法的几种主要方法，即直译法、相关点法、几何法及参数法。求曲线方程的关键是仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，寻找曲线上任一点（动点）所满足的条件，然后把动点所适合的条件转化为动点坐标所适合的等式。其间要注意同解变形，并考虑一些特征点是否适合方程。