Question

这道极限题为什么我做的错了？

图一是答案，图二是我做的，看不清楚题可以看我写的

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Answer 1

对任意 M>0 都有：

恒等式：M=e^(lnM)

本题：M=(1+x)^(1/x),  恒等式：(1+x)^(1/x)=e^ln[(1+x)^(1/x)]=e^[(1/x)*ln(1+x)]

或者：M=(1+x),  恒等式：(1+x)^(1/x)=[e^ln(1+x)]^(1/x)=e^[(1/x)*ln(1+x)]

你第一个等号分子第一项变形中把底数 e 丢掉了

第 3 行对数函数麦克劳林展式取前两项

第 6 行（倒数第 2 行）指数函数麦克劳林展式取前两项

Answer 2

x->0
(1+x)^(1/x)
=e^【 ln(1+x)/x 】
=e^【 [x-(1/2)x^2+o(x^2) ]/x 】
=e^【 [1-(1/2)x+o(x)】
(1+x)^(1/x) -e
=e^【 [1-(1/2)x+o(x)】 -e
=e. [e^【-(1/2)x】 -1]
=e. [-(1/2)x+o(x) ]
lim(x->0) [ (1+x)^(1/x) -e ]/x
=lim(x->0) e.[-(1/2)x ]/x
=-(1/2)e

Answer 3

(1+x)^(1/x)=e^[(1/x)ln(1+x)]，∴(1+x)^(1/x)-e=e^[(1/x)ln(1+x)]-e≠[(1/x)ln(1+x)]-e+1。
分享另一种解法如下，利用泰勒级数求解。
∵x→0时，ln(1+x)=x-x²/2+O(x²)、e^x=1+x+O(x)，∴e^[(1/x)ln(1+x)]~e^[(1/x)(x-x²/2)]=e^(1-x/2)=e*e^(-x/2)~e(1-x/2)。
∴原式=lim(x→0)[e(1-x/2)-e]/x=-e/2。
供参考。