Question

一道 初三数学题~

如图，已知圆O的直径AB=2，直线m与圆O相切与点A，P为圆O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与圆O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D。
（1）求证：△APC∽△COD
（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y。
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形

Answer 1

分析：（1）由题可知，DA、DC是由D点向圆引的两条切线，有切线的性质可知，DO垂直平分AC，又∠PAC为直径所对的圆周角为90°，所以PA和AC垂直，因此PA和OD平行，可得同位角相等即∠P=∠DOC，又∠PAC=∠DCO=90°，所以可得相似．
（2）由（1）知相似，可得对应线段成比例，利用此性质得 APPC=OCOD，可求出y与x之间的关系式．
（3）若△ACD是一个等边三角形，则∠ADC=60°，∠ODC=30°，于是OD=2OC，由（2）可得出x的值为1．
解答：证明：（1）∵PC是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，
∴∠PAC=∠OCD=90°，
∴△DOA≌△DOC，
∴∠DOA=∠DOC，∠APC=∠COD．
∴△APC∽△COD．

（2）由△APC∽△COD，得： APPC=OCOD
∴ x2=1y，
∴ y=2x．

（3）若△ACD是一个等边三角形，则∠ADC=60°，∠ODC=30°，
∵OD=2OC，
∴y=2，
∴x=1．
当x=1时，△ACD是一个等边三角形．

Answer 2

(1).先证明 RT△DAO≡RT△DCO（HL）
得 ∠DOA=∠DOC=1/2弧AC=∠CPA
又∵CP是直径
∴∠CAP=90°=∠DCO
∴△APC∽△COD
（2） ∴AP/CO=PC/OD
∵直径=2
∴x/1=2/y
∴y=2/x
(3)∵△ACD是等边三角形
∴∠ADP=30°
∵∠DAO=90°
∴AO=2OD
∴2y=1
x=4

Answer 3

1
AO=CO 所以DO垂直AC
∠POA=2∠PCA(圆周角圆心角)
∠POA=∠DOC ∠PCA=∠OCC
所以 △APC∽△COD
2
y=2/x
3
x=1时，△ACD是一个等边三角形

Answer 4

1.因为OA，OC是圆的半径，所以OA=OC，又AO⊥AD，CO⊥CD
所以AD=CD，且OD平分∠ADC.在等腰三角形ACD中，因为OD是∠ADC的平分线，所以AC⊥OD.此时不妨设AC与OD的垂足为E.则∠OEC=90°，根据等量代换可得到∠ACP=∠CDO，∠APC=∠DOC，（这里就很简单了，LZ应该会的），故△APC∽△COD.
2.由1可知AP/OC=CP/OD，所以x/OC=CP/y，又OC为半径，CP为直径，所以OC=1，CP=2，所以x/1=2/y，所以化简得到y=2/x.
3.由1可证△ACD是一个等腰三角形，AD=CD。所以当△ACD是一个等边三角形时，必定存在AC=CD.由2可证AP/OC=AC/CD。又AP/OC=x/1=x.所以AC/CD=x，那么，当AC=CD时，AC/CD=1，即x的值为1.