Question

求助一道高等数学题，谢谢！

4阶方阵A元素均属于{−1, 0, 1},求|A|的取值范围及每个值出现的次数.

Answer 1

设B={-1,0,1},{a,b}={-1,1},则a^2=b^2=1,ab=-1,a+b=0.
一、易知元素属于B的二阶行列式的最大值为2.
值为2的二阶行列式有4个：由
a a
ba转置得
a b
a a,
将a与b互换得另两个。所以下面以
1 x 土1
* a a
* b a为基础构造取最大值的3阶行列式。
二、在元素属于B的3阶行列式A3中，若A3有一个元素为0，则按这个0所在的行展开，立知它的值不大于4.
若A3不含元素0，则它取得最大值的形式有以下两种：
（一）
1 x 1
* a a
* b a，其中x=土1.
要第三列的1对应的余子式的值为2，只能是
1 x 1
b a a
b b a,
它的值是4；
（二）
1 x -1
* a a
* b a，
要第三列的-1对应的余子式的值为-2，只能是
1 x -1
a a a
a b a,
它的值也是4。
所以A3的最大值是4.
三、在元素属于B的4阶行列式|A|中，若|A|有一个元素为0，则按这个0所在的行展开，立知它的值不大于12.
若|A|不含元素0，则它取得最大值的形式有以下两种::
（一）
1 x1 1 x2
* 1 x 1
* b a a
* b b a,
x1,x2可取土1.要第三列的1对应的余子式的值为4，只能是
1 x1 1 x2
x3 1 x 1
b b a a
a b b a,
把它的第三列加到第一列，第四列加到第二列，得
2 x1+x2 1 x2
x+x3 2 x 1
0 0 a a
0 0 b a
=2[4-(x1+x2)(x+x3)]
x1+x2,x+x3∈{0,土2}，
所以(x1+x2)(x+x3)∈{0,土4},
所以它的最大值为16.
（二）
1 x1 -1 x2
* 1 x 1
* b a a
* b b a,要第三列的-1对应的余子式的值为-4，只能是
1 x1 -1 x2
x4 1 x 1
a b a a
b b b a其中x2取土1.
把它的第一列减去第三列，第四列加到第二列，得
2 x1+x2 -1 x2
x4-x 2 x 1
0 0 a a
0 0 b a,
仿(二),它的最大值为16.
综上，|A|的最大值是16，易知它的取值范围是[-16,16]上的整数。
至于每个值出现的次数，我至今没有找到解法，留给网友探索。
仅供参考。