Question

已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd等于多少？

Answer 1

换元即可。
设a=sinα，b=cosα，c=sinβ，d=cosβ.
由ac+bd=0可得sinαsinβ+cosαcosβ=0，即cos(α-β）=0，所以α=π/2+β.
所以2α=π+2β.则sin(2α)=-sin(2β).
所以sin(2α)+sin(2β)=0.
则ab+cd=sinαcosα+sinβcosβ=（1/2）·sin(2α)+(1/2)·sin(2β)=0.
（注：看见平方和为零一般都用换元换成三角函数计算）

ab+cd=0

Answer 2

解：
【1】∵ac+bd=0.
∴两边平方可得：a ²c ²+2abcd+b ²d ²=0.
∴2abcd=-(a ²c ²+b ²d ²).
【2】∵a ²+b ²=1,且c ²+d ²=1.
∴a ²+b ²=c ²+d ²
∴a ²-d ²=-(b ²-c²).
【3】可设t=ab+cd.
∴t ²=(ab+cd) ²=a ²b ²+c ²d ²+2abcd
=a ²b ²+c ²d ²-(a ²c ²+b ²d ²)
=a ²(b ²-c ²)+d ²(c ²-b ²)
=(a ²-d ²)(b ²-c ²)
=-(b ²-c ²)²,
∴0≤t ²=-(b ²-c ²)²≤0.
即：0≤t ²≤0.
∴t=0.即ab+cd=0.