Question

请问这道题这样做为什么不对？

Answer 1

你设t=sinθ没问题，但θ=arcsint是有前提的！

反三角函数θ=arcsint的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2，π/2]，也就是说，θ的上下限要在[-π/2，π/2]的内部，才能有θ=arcsint，但题目中的积分上下限是[0，π]！

换句话说，t=sinθ（θ∈[π/2，π]）的反函数不是θ=arcsint！

所以不能像你写的那样算。

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如果要用你这个方法算，就要求出[π/2，π]上的反函数。

令θ=θ'+π，则θ'=θ-π，θ'∈[-π/2，0]

所以，t=sinθ=sin(θ'+π)=-sinθ'

θ'=arcsin(-t)，即θ=arcsin(-t)+π

这个才是[π/2，π]上的反函数

当θ=π/2时，t=1，当θ=π时，t=0

反函数不一样了，就要把积分分段了！

下次回答继续。

Answer 2

区间0到π，
定积分是中间的不规则形状面积，
就这么无厘头被你生生的拉成了0到0?
按你这逻辑，但凡sinx这类周期函数，
起点终点数值一致的期间积分都被你强制清零了?
还要问为什么不对...
不对是当然因为你想当然了
按你这逻辑，任意定积分都能为零
因为利用正弦函数都能变成上下限一致

追问

那您倒是说说哪里的问题，我知道这样不对？

追答

你这样换元麻烦把区间分一下，分成从0到π/2加上π/2到π

本来就不用换元的题
=θ+∫sin²θdcosθ
=1+∫1－cos²θdcosθ
=1+cosθ－cos³θ/3
=1+(2/3)cos1－2/3
=1/3+(2/3)cos1