Question

为什么数形结合方法在数学中有着广泛的应用

Answer 1

数缺形时少直观，形缺数时难入微。“数”和“形”是数学中的两个维度。“形”数形结合思想是高中四大基本思想之一，在整个高中数学中占有重要的地位。
顾名思义，“数”的主要特点是可以用具体的公式等将各个变量的关系表示出来，比如函数，可以精确地进行定量分析，但是缺点是不够直观。人类对画面的理解能力和接受度要比文字、符号等要高得多。因此，“形”能够弥补“数”在这方面的不足。如果说“数”给人以微观的感觉，“形”则可以给人以宏观上的感觉，比如函数的趋势、对称性等等，通过“形”才能让人在脑海里有一幅关系图。通过数形结合，才能让人在宏观和微观两个层面上加深对事物的理解。
高中数学中数形结合用的比较多的有这些情况：①用函数的图像讨论方程的解的个数，基本思想是把方程两边的代数式看作两个熟悉函数的表达式，然后再同一坐标系里画出两个函数的图像，这样交点个数就是方程解的个数，一目了然；②通过数形结合解不等式或求参数的范围，通过画出两个函数的图像，判断两个图像的上下位置关系来解题；③通过数形结合求最值或范围，很多代数式是具有几何意义的，比如绝对值代表的是两点间距离、分式形式可以看作斜率等等。通过数形结合，可以有效地降低做题难度和复杂度。
数形结合方法在高考选择填空题解题时也很有用，往往可以提高解题速度，因此说数形结合思想在数学中具有广泛的应用。