Question

在数列{an}中，a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2,求通项公式an

Answer 1

an=2an-1+3an-2
则an+a(n-1)=3[a(n-1)+a(n-2)]
所以{an+a(n-1)]是公比为3的
等比数列
首项=a2+a1=2+1=3
则an+a(n-1)=3*3^(n-2)=3^(n-1)
an-(1/4)*3^n=(-1)[a(n-1)-(1/4)*3^(n-1)]
所以{an-(1/4)*3^n}是公比为-1的等比数列
首项=a1-3/4=17/4
所以an-(1/4)*3^n=(17/4)*(-1)^(n-1)
故an=(1/4)*3^n+(17/4)*(-1)^(n-1)

Answer 2

an=2a(n-1)+3a(n-2)
1)an+a(n-1)=2a(n-1)+3a(n-2)+a(n-1)=3a(n-1)+3a(n-2)=3[a(n-1)+a(n-2)],
a2+a1=7

∴{an+a(n-1)}是首项为7,公比为3的等比数列

∴an+a(n-1)=7×3^(n-2)①
2)an-3a(n-1)=2a(n-1)+3a(n-2)-3a(n-1)=-a(n-1)+3a(n-2)=-[a(n-1)-3a(n-2)],
a2-3a1=-13

∴{an-3a(n-1)}是首项为-13,公比为-1的等比数列

∴an-3a(n-1)=-13×(-1)^(n-2)=13×(-1)^(n-1)②
①×3+②得
4an=7×3^(n-2)×3+13×(-1)^(n-1)=7×3^(n-1)+13×(-1)^(n-1)
∴an=[7×3^(n-1)+13×(-1)^(n-1)]/4