Question

已知f(x)=x^2+∫xf(x)dx求f(x)

Answer 1

式子对x求导得到
f'(x)=2x +xf(x)
即f'(x)-xf(x)=2x
显然特解为f(x)*= -2
而按照公式得到
f'(x)-xf(x)=0的通解是f(x)=ce^0.5x²
所以解得f(x)=ce^0.5x² -2，c为常数

Answer 2

解: 等式两边求导得: f'(x)=2x+xf(x)

即f'(x)-xf(x)=2x，这是一个一阶非齐次线性微分方程。根据y'+P(x)y=Q(x)微分方程通解:

这里P(x)=-x，Q(x)=2x

f(x)=e^(x^2/2)[∫2xe^(-x^2/2)dx]

=-2e^(x^2/2)[e^(-x^2/2)+C1]

=-2+Ce^(x^2/2)

Answer 3

方法如下，
请作参考：

Answer 4

已知f(x)=x²+∫xf(x)dx ；求f(x)；
解：对x取导数得：f'(x)=2x+xf(x)；设y=f(x)，则有y'=2x+xy.........①；
故有 y'-xy=2x；先求齐次方程 y'-xy=0的通解：分离变量得：dy/y=xdx；
积分之得：lny=(1/2)x²+lnc;
故齐次方程的通解为： y=ce^(x²/2)；将积分变量c 换成x的函数u 得：y=ue^(x²/2)...........②
对x取导数得：y'=u'e^(x²/2)+uxe^(x²/2)..........③
将②③代入①式得：u'e^(x²/2)+uxe^(x²/2)=2x+xue^(x²/2)
消去同类项化简得：u'e^(x²/2)=2x；即有du/dx=2xe^(-x²/2)
∴u=∫2xe^(-x²/2)dx=-2∫d[e^(-x²/2)]=-2e^(-x²/2)+C;
将u值代入②式即得原方程的通解：y=[-2e^(-x²/2)+C]e^(x²/2)=-2+Ce^(-x²/2);
即f(x)=Ce^(-x²/2)-2；