Question

一道三角函数的高一数学题

三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a^2+b^2=2c^2,求锐角C的取值范围

写明过程，谢谢！

Answer 1

解：在三角形ABC中应用余弦定理得：
cosC=(a²+b²-c²)/2ab=（2c²-c²）/2ab=c²/2ab
根据不等式基本公式有a²+b²≥2ab
所以2c²≥2ab
即c²≥ab
所以cosC=c²/2ab≥ab/2ab=1/2
所以cosC∈【1/2,1】
由题知：C为锐角
所以0＜C≤60°

Answer 2

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=c^2/(2ab)=(a^2+b^2)/(4ab)≥2ab/(4ab)=1/2，当且仅当a=b时等号成立.故0≤C<π/3.

Answer 3

解：在△ABC中，由余弦定理得：cosC=(a²+b²-c²)/2ab
∵a²＋b²=2c² ∴cosC=（2c²-c²）/（2ab）=c²/2ab
根据均值不等式有：a²+b²≥2ab ∴2c²≥2ab 即c²≥ab
∴cosC=c²/（2ab）≥（ab）/（2ab）=1/2 ∴cosC∈[1/2,1）
又∵C为锐角 ∴0º≤C≤60º