Question

1方加2方加3方……一直加到n方等于几？（写出推算过程）

Answer 1

1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。

证明过程：

根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：

a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
·
·

a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1

等式两边相加：

（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)

所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。