Question

这两道题怎么做？

Answer 1

(1). 求微分方程 dy/dx=(y/x)+(y/x)² 的通解
解：令y/x=u，则y=ux；dy/dx=u+x(du/dx)；
代入原式并化简得：x(du/dx)=u²；分离变量得：du/u²=(1/x)dx；
积分之得：-1/u=ln∣x∣+lnc=ln(c∣x∣)；
故u=-1/[ln(c∣x∣)；将u=y/x代入即得通解：y=-x/[ln(c∣x∣)；
(2) . 求微分方程 y'+y=xe^(-x)满足初始条件y(0)=4的特解；
解：先求齐次方程 y'+y=0的通解：分离变量得 dy/y=-dx；
积分之得：lny=-x+lnC₁；故y=C₁e^(-x)；
将C换成x得函数u得：y=ue^(-x).........①
取导数得：dy/dx=y'=-ue^(-x)+[e^(-x)](du/dx)..........②
将①②代入原式得：-ue^(-x)+[e^(-x)](du/dx)+ue^(-x)=xe^(-x)
化简得：du/dx=x，故u=∫xdx=(1/2)x²+C;
将u值代入①式即得通解：y=[(1/2)x²+C]e^(-x)
代入初始条件y(0)=4即得C=4；故满足初始条件的特解为：y=[(1/2)x²+4]e^(-x);