Question

求救高数大佬，一道竞赛题

问题在图片里，这题我看的云里雾里的，它的整个思路，我就没有理解，谢谢了

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Answer 1

一些浅见，仅供参考，下面都省略n->+inf

先说问题3：因为lim (a_i)/n=0，极限拆分。

再说问题1：任意子列极限存在且相等肯定能证明数列极限存在。但我们证明极限的时候不可能取任意子列，所以才有一个经典的例子：

lim a_{2k}=lim a_{2k+1}=a ⇔ lim a_n=a.

你可能还遇到过一个经典的证明题：

lim a_{3k}=lim a_{3k+1}=lim a_{3k+2}=a ⇔ lim a_n=a  

 也就是说并不是非要举出所有子列（当然你也举不出来所有）就可以证明数列的极限。由上面两个例子我个人得到一个小猜想：

{a_n}中，对于任意一个正整数p，模p的同余类{[0],[1],....[p-1]}为下标构成的子列收敛，则{a_n}收敛。

p=2就是奇偶列，p=3就是{3k,3k+1,3k+2}依次类推，应该不难证明(交给你了...)。

再看问题2：你如果看了问题3的解答，对问题2很容易理解，因为这思路本质上是个数论的同余问题。。题目里就一个正整数p，要把n分成几个子列，显然模p的同余类是个完美的划分法。

竞赛里的一些小技巧其实并不都是有思路的，就算有也是一种积累和眼界，见多才能识广，加油。

追问

谢谢啦

Answer 2

1、数列极限存在，可以利用子列去判断，即所有子列都收敛，且收敛的极限是同一个。其实这个取得子列能遍布整个数列即可，然后这些子列能收敛到同一个极限。就能说明这个数列极限存在。对应连续函数极限存在的情况有个归结原理(可以看看)。
2、第二个构造的子列是为了用到题中给的条件，题中给的a_{n+p}－a_{n}这个极限的条件。
3、那个a_{i}，i是在1到p的这个几个整数里面。就p个数都是有限的。因此a_{i}/n当n趋于无穷的时候，是趋于零的。由于分母a_{i}是一个有界量。

追问

谢谢啦

Answer 3

1. 这里就是化整为零的思维，因为直接an/n不好处理，直接把{an}拆成p个子列，因为n是整数，n除以p的余数只可能是1，2……p,所以会有p个子列，而这p个字列组合在一起就是数列{an}。

2. 也可以，但这不是关键，因为题目的条件和结论都涉及了p，而直接求很难，所以同1所说，化整为零，n变成np+i(i=1,2,……p),相应的an就变成anp+i,   an/n就变成anp+i/np+i。

3. 这里是n趋向无穷，与ai无关，所以就把ai当作常数就可以了，常数除以无穷，自然是0。
   

追问

谢谢啦

追答

如果可以，望采纳。

Answer 4

一道高等数学竞赛题！高手进！ 事实上如果利用梯度曲线我们可以将上界8继续改进

Answer 5

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