Question

xtanx^2dx的不定积分是什么？

Answer 1

∫ xtan(x²) dx。

=(1/2)∫ sin(x²)/cos(x²) d(x²)。

=-(1/2)∫ 1/cos(x²) d(cosx²)。

=-(1/2)ln|cos(x²)| + C。

求解：

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。

Answer 2

∫x tanx^2 dx
= ∫ x (secx^2 -1) dx .........tanx^2 +1=secx^2
=∫(x secx^2 -x ) dx
=∫x secx^2 dx -∫x dx
=∫ x d(tanx) - x^2/2 + C .........这里要用到分部积分
=x tanx - ∫ tanx dx - x^2/2 +C
=x tanx + ∫ cosx^-1 d(cosx) -x^2/2 +C...........这里积分号前面的符号记得变号
x tanx +ln| cosx| - (x^2)/2 +C