Question

求极限lim(π/2-arctanx)/(1/x),x趋近于正无穷

Answer 1

根据极限的性质，我们可以将极限拆分为两个部分：lim(π/2-arctanx) 和 lim(1/x)，分别计算这两部分的极限。 首先计算lim(π/2-arctanx)。
当x趋近于正无穷时，arctanx趋近于π/2，所以π/2-arctanx趋近于0。
然后计算lim(1/x)。 当x趋近于正无穷时，1/x趋近于0。
综上所述，极限lim(π/2-arctanx)/(1/x)，x趋近于正无穷等于0/0。
这是一个不确定的形式，我们可以使用洛必达法则来计算这个极限。
根据洛必达法则，对于形式为0/0的极限，我们可以对分子和分母分别求导数，并再次计算极限。即求极限lim(d(π/2-arctanx)/dx)/(d(1/x)/dx)，x趋近于正无穷。 对分子进行求导，d(π/2-arctanx)/dx = -1/(1+x^2)。 对分母进行求导，d(1/x)/dx = -1/x^2。
再次计算极限lim(-1/(1+x^2))/(-1/x^2)，x趋近于正无穷。 我们可以将两个负号约去，得到极^2)/x^2)，x趋近于正无穷。
根据极限的性质，可以进行展开，得到极限lim(1 + x^2)/lim(x^2)，x趋近于正无穷。
对于分子lim(1 + x^2)，x趋近于正无穷时，结果为正无穷。 对于分母lim(x^2)，x趋近于正无穷时，结果为正无穷。 因此，极限lim((1+x^2)/x^2)，x趋近于正无穷等于正无穷/正无穷，这是一个不确定的形式。 再次使用洛必达法则，对分子和分母分别求导数，再计算极限。 对分子进行求导，d(1 + x^2)/dx = 2x。 对分母进行求导，d(x^2)/dx = 2x。 再次计算极限lim(2x)/(2x)，x趋近于正无穷。 我们可以看到分子和分母是相等的，所以极限结果为1。
综上所述，极限lim(π/2-arctanx)/(1/x)，x趋近于正无穷的结果为1。

Answer 2

lim(x→+∞) (π/2-arctanx)/(1/x)
=lim(x→+∞) (arccotx)/(1/x)
=lim(x→+∞) [-1/(1+x^2)]/(-1/x^2)
=1