线性代数的本质-抽象向量空间

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新科技17
2022-06-09 · TA获得超过5902个赞
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这是本系列课程的最后一节,主要来重谈一下什么是向量。

视频地址: https://www.bilibili.com/video/av6661309?from=search&seid=11789080179301962680

什么是向量?以二维向量为例,可以认为他是一个平面内的一个箭头,然后在坐标系下给它赋予了一组坐标,也可以理解为是一组有序的实数对,我们只是将他形象理解为平面内的一个箭头。

但本节想讨论一下既不是箭头,也不是一组数字,但具有向量性质的东西,如函数。函数其实是另一种意义上的向量,如满足向量加法:

同样满足数乘性质:

再来说一下函数的线性变换,这个变换接受一个函数,然后把它变成另一个函数,如导数:

一个函数变换是线性的,需要满足什么条件呢?先回顾一下线性的严格定义,它需要满足如下的两个条件:

求导是线性运算,因为它也满足可加性和成比例:

接下来,我们尝试用矩阵来描述求导,先把眼光限制在多项式空间中,整个空间中可以包含任意高次的多项式:

首先给这个空间赋予坐标的含义,这需要选取一个基,这里更准确的说法是选择一组基函数,一个很自然的想法是(b 0 (x)=1,b 1 (x) = x,b 2 (x) = x 2 ....),这组基函数的包含无限多个基函数,因为多项式的次数可以是无限的:

这样,一个多项式函数可以表示成一组坐标,例如:

再比如:

更加通用的写法是:

在这个坐标系中,求导是用一个无限阶矩阵描述的,主对角线上方的次对角线有值,而其他地方为0,举个例子:

这个求导矩阵是怎么得到的呢?很简单,对每个基函数进行求导,然后放在对应的列上即可,比如b 2 :

所以,乍一看矩阵向量乘法和求导是毫不相关的,但其实都是一种线性变换,但是有时候名字可能不太一样:

哈哈,可以看到,数学中有很多类似向量的事物:

向量可以是任何事物,只要它满足下面的八条公理即可:

好了,本系列课程的笔记就到这里了,喜欢的大家点个赞哇!记得一定要去看原视频哟!
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