Question

二维向量叉乘公式如何证明？

Answer 1

二维向量叉乘公式a（x1，y1），b（x2，y2），则a×b＝（x1y2－x2y1），不需要证明的就是定义的运算。

三维叉乘是行列式运算，也是叉积的定义，把第三维看做0代入就行了。

代数规则

1、反交换律：a×b=-b×a

2、加法的分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c。

3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）＝r（a×b）。

4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）＋b×（c×a）＋c×（a×b）＝0。

5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。

6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。

Answer 2

可以参考zhi乎up主：数学达人上官正申所发布第一篇名为：《一文讲透二维空间中向量的外积（叉乘），让人成为高手》的“4.向量外积在直角坐标系中的推导”部分。虽然在第三个等号之前省略了一些过程，但可以通过分类讨论x、y坐标正负值及对sin值的正负影响情况，得到且证明其结果的正确性。