十二种因式分解方法
将一个多项式转化为几个代数表达式的乘积称为分解多项式。因式分解有多种方法，总结如下:
提出公共事业法
如果多项式的每一项都包含一个公因子，那么可以提出这个公因子，从而将多项式转化为两个因子的乘积。
1、因式分解因子x -2x -x(2003年淮安中学试题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2.运用公式法
因为因式分解和代数表达式乘法有倒数关系，如果把乘法公式反过来，就可以用来分解某些多项式。
2.因式分解因子a 4ab 4b (2003南通中学考试)
解:a 4ab 4b =(a 2b)
3.分组分解法
对多项式am an bm bn进行因式分解，可以先将其前两项分成一组，提出公因式A，然后将其后两项分成一组，提出公因式B，从而得到a(m n) b(m n)，再提出公因式m n，从而得到(a b)(m n)。
例如，因子分解因子m 5n-mn-5m
解:m 5n-mn-5m= m -5m -mn 5n
= (m -5m ) (-mn 5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4.叉乘法
对于mx px q形式的多项式，若a×b=m，c×d=q，ac bd=p，则该多项式可因式分解为(ax d)(bx c)
例4，因子分解7x -19x-6
分析:1 -3
7 2
2-21=-19
解决方案:7x -19x-6=(7x 2)(x-3)
5.匹配方法
对于那些不能用公式法的多项式，有的可以用它做一个完全平坦的方法，然后用平方差公式进行因式分解。
例如，因子分解因子x 3x-40
溶液x 3x-40=x 3x () -() -40
=(x ) -()
=(x )(x -)
=(x ^ 8)(x-5)
6.拆卸和添加方法
多项式可以分成几部分，然后进行因式分解。
例如，分解因子bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)
解法:BC(B C)CA(C-A)-AB(AB)= BC(C-A AB)CA(C-A)-AB(AB)
=bc(c-a) ca(c-a) bc(a b)-ab(a b)
=c(c-a)(b a) b(a b)(c-a)
=(c b)(c-a)(a b)
7.替代方法
有时候在因式分解的时候，可以选择多项式的同一部分用另一个未知数代替，然后因式分解，最后再转换回来。
例如，因子分解因子2x -x -6x -x 2
解:2x -x -6x -x 2=2(x 1)-x(x 1)-6x
=x [2(x )-(x )-6
设y=x，x [2(x )-(x )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
= x(y ^ 2)(2y-5)
= x(x ^ 2)(2x-5)
= (x 2x 1) (2x -5x 2)
=(x ^ 1)(2x-1)(x-2)
8.求根方法
设多项式f(x)=0，求其根为x，x，x，…x，...x，那么多项式可以分解成f (x) = (x-x) (x-x)...(x-x)
例如，因式分解因子2x 7x -2x -13x 6
解法:设f(x)=2x 7x -2x -13x 6=0
按照综合划分，f(x)=0的根是-3，-2，1。
那么2x7x-2x-13x 6 =(2x-1)(x3)(x2)(x-1)
9.镜像法
设y=f(x)，作函数y=f(x)的图像，求交点x，x，x，…x，...x在函数图像和x轴之间，那么多项式可以分解成f (x) = f (x) = (x-x) (x-x)...(十
例9。因式分解x 2x -5x-6
解法:设y= x 2x -5x-6
制作其图像，见右图，与X轴的交点为-3，-1，2。
那么2x-5x-6 = (x1) (x3) (x-2)
10.主成分方法
先选取一个字母作为主成分，然后按照这个字母出现的次数从高到低排列项目，再进行因式分解。
例10，因式分解因子a (b-c) b (c-a) c (a-b)
解析:本题可选取A作为主成分，按时间顺序由高到低排列。
解法:a(b-c)b(c-a)c(a-b)= a(b-c)-a(b-c)(b c-c b)
=(公元前)年
=(b-c)(a-b)(a-c)
11.使用特殊价值法
将2或10代入X，求出数P，将数P分解为素数因子，适当组合素数因子，将每个组合因子写成2或10的和与差形式，将2或10化简为X，从而得到因式分解公式。
例11，因式分解x 9x 23x 15
解法:设x=2，则x ^ 9x ^ 23x ^ 15 = 8 ^ 36 ^ 46 ^ 15 = 105。
105分解成三个质因数的乘积，即105=3×5×7。
注意多项式中最高项的系数是1，而3，5，7分别是x=2时x 1，x 3，x 5的值。
那么x 9x 23x 15=(x 1)(x 3)(x 5)
12.待定系数法
先确定因式分解的形式，然后设置对应代数表达式的字母系数，找出字母系数，从而对多项式进行因式分解。
例12，因子分解因子x -x -5x -6x-4
解析:很容易知道这个多项式没有一次因子，所以只能分解成两个二次因子。
解法:设x -x -5x -6x-4=(x ax b)(x cx d)
= x (a c)x (ac b d)x (ad bc)x bd
所以解决吧。
X -x -5x -6x-4 =(x x 1)(x -2x-4)
2X(a-b)-3y(b-a)
=2X(a-b)+3y(a-b)
=(a-b)(2X+3y)
分解因式的原则：
1、分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
2、分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
3、每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。
4、结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；
5、结果的多项式首项一般为正。 在一个公式内把其公因子抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子；
6、括号内的首项系数一般为正；
7、如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。如(b+c)a要写成a(b+c)；
8、考试时在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
口诀：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。
原式=2x(a－b)－[－3y(a－b]
=2x(a－b)+3y(a－b)
=(a－b)(2x+3y)
这个算式在进行应试分解的时候 ，因为算式中存在着公因式a－b和b－a，而b－a是a－b的相反数，所以只要在b－a的前面加上一个负号(－)，b－a就可以变成a－b了，提取公因后， 其余的两个数相加 ，完成了因式分解
b-a=-a+b=- （a-b）
可以先根据这个关系变换符号，再提取公因式。
2x(a－b)－3y(b－a)
＝2x(a－b)－3yb＋3ya
＝2x(a－b)＋3y(a－b)
＝(a－b)(2x＋3y)
