Question

圆的周长及面积

Answer 1

说到圆 我想大家可能都不陌生 ，它在我们生活中有很多的应用 比如轮胎的正面 ，或者说矿泉水瓶的底面 ，这都是圆形 ，在生活中也有很多把它画出来的工具 就比如说圆规 ，那么，在生活中这样普遍的一个图形 它的周长和面积应该怎样求呢？ 我们又有哪些方法可以用来了解它呢 ？

首先我们先来了解圆的周长 ，也就是这个圆一圈的长度 。有很多种方法可以理解 让我们先来说说利用身边的物质可以测量出来的方法 。首先我们可以用一条绳子围着这个圆绕一周 ，把这条绳子开始的地方以及最后为圆 一周后围绕的地方坐上标记， 然后展开这条绳子 ，看看这两个标记处距离多远 也就是这个圆的周长是多少 。还有一种方法就是在圆的边线上做上一个标记 然后围绕着一张纸成直线向前滚动 ，从做表计处滚到重复到做标记处，然后在纸上画上终点和起点 ，我们就可以直接看出这个圆的周长是多少 。这两种都是在日常生活中可以借助其他物体实践的方法 ，那么难道圆的周长就只能这样测量 ？有没有公式或者说什么普遍的规律呢 ？其实是有的 。在前一段时间 老师让我们制作圆柱 ，如果想要制作圆柱 那么就必须要制作出圆形 可是老师只给了我们这个圆的半径 ，那我们应该怎样画出一个有这样半径的圆呢 ？后来我知道了圆的周长应该是它的直径乘π3 .14 但我想知道为什么是乘3 .14的时候 ，有人说这没有为什么，这是一个工具 普遍的定律就是这样 ，是我们经过了无数的实验才算出了这样的一个数值 ，用无数个大小不同的圆做不同的实验 看看他们最后的数值是不是都是3. 14 ，如果是这样的话 那么我们只好把它认定为暂时的真理，我也只好作罢 。现在我知道了 圆的周长是直径乘π3 .14 ，他同样也等于半径乘π3.14 那么既然知道了圆的周长 圆的面积应该怎样求呢 ？我继续发出新的疑问 。

这时有人教了我一种新的方法 ，我们把它称为微积分 。在这里 我们把圆的半径成为r，圆的直径则为R,由此圆的周长公式则是R×3.14=L微积分在圆的应用就是把圆过中心点分割成无数个小三角形 ，一部分可以越分 越小越分越小 ，然后他分出来的三角形 虽然它的底边是弧度的 但是当分的数值越小的时候 ，它就越接近于直线 ，我们可以把它看作为一个三角形 ，然后把所有三角形的面积相加 就是圆的面积 。在这里我就提出了一个疑问 既然数学要求严谨 ，那么这的数值岂不是相差很大吗 ？这还称得上为严谨吗 ？真的要把不相等的东西在两边画上等号吗 ？可是有人告诉我，把圆分成无限份 那么无限分到底是多少份呢 ？经过科学调查分为无限份 也就意味着每份近乎等为零 ，既然他底下的那个弧度近乎等为零 那么就近乎等为直线 ，这是一个理论上的东西，只要近乎等为零 那么就是零 。比如说求三棱锥的体积 ，是底面积除以三乘高，而为什么是1 3 最后探出来的公式应该是x×（x+1）×（2x+1），而最后推演出来的公式到后面还有一些，我们并没有办法把它消掉 ，他们依然存在 但是只要把他们划分成无数份 那么就可以约等为零 ，这就是微积分的特点 。继续我们的探究 ，首先求出每个三角形的面积 ，如下

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三角形的面积计算公式 是底乘高除以二 ，而上图中的底也就是n分之l ，把周长平均分成无限份儿 ，简称n份，而高也就是这个圆的半径 ，r，除以二我想大家都理解 ，这就是在圆里面一个小三角形的求法，下面就是所有三角形面积的相加 ，如下 :

还是一个三角形的面积 然后再乘n份这样的三角形 就是这个圆的总面积 ，可是如果这是的最终公式 那么会很麻烦 ，看看可不可以继续缩减 ，n分之l和后面乘的n可以相互抵销 ，于是这个公式变成了 二分之一的lr，在这里l表示这个圆的总周长 ，可以把它分解为二分之一的πr×r，这里的二分之一和二互相抵消 ，所以最后就变成了π乘r的平方，这就是圆最后的面积公式 。整体的推导历程如下 :

在这里我们已经简单的运用了微积分的知识 ，你理解了吗 ？