Question

为啥两圆相减就是公共弦方程

Answer 1

两个圆若是相交，则至多交于2点。而将两圆的方程相减即是默认两条方程中有共同的解X、Y。而减后的方程必定满足X、Y，就是两个交点所共同满足的直线方程。平面内2点间有且只有1条直线，那么这条直线就是所求的公共弦。
若圆C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0；
圆C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0；
则过两圆交点的直线方程为：(x-a1)²+(y-b1)²－(x-a2)²－(y-b2)²=r1²－r2²或(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0。这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式。