Question

高等代数理论基础44：线性空间的同构

Answer 1

向量与它的坐标之间的对应是 到 的一个映射,且是单射与满射,即双射

定义：数域P上两个线性空间 ,若存在双射 满足：

1.

2.

则称 同构, 称为同构映射

注：n维线性空间V中取定一组基后,向量与它的坐标之间的对应是 到 的一个同构映射,故数域P上任一n维线性空间都与 同构

1.

2.

3.V中向量组 线性相关 它们的像 线性相关

4.若 是V的一个线性子空间,则 在 下的像集合 是 的子空间,且 维数相同

5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射

证明：

3.V中向量组 线性相关 它们的像 线性相关

5.同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射

注：

1.任一线性空间V到自身的恒等映射是一同构映射

2.同构作为线性空间之间的一种关系,具有自反性、对称性与传递性

3.数域P上任一n维线性空间都与 同构,由同构的对称性与传递性,数域P上任两个n维线性空间都同构

定理：数域P上两个有限维线性空间同构 它们维数相同

注：

1.同构的线性空间不做区别,维数是有限维线性空间的唯一本质特征

2.同构的空间由相同的性质