微分方程-常系数线性方程-非齐次问题
在已经获得齐次问题的通解的情况下，求解非齐次问题的实质就是寻找一个特解. 之前的知识知道，这样的特解可以通过常数变易公式获得，但是对具体的问题来说这样的计算可能是相当复杂的,针对几类特殊而常见的函数类型，我们有更加简便的方法，即 算子解法 .
考虑非齐次线性方程
按照算子写法，可以表述为
如果把 的逆算子形式地记为 ，那么我们需要求
这里我们先理解一下逆算子 注意到一个简单的情形是 ,，它对一个可积函数 的作用结果 是不定积分 这是一个不唯一的结果，他们之间相差一个常数. 然而我们现在只需要求任何一个特解，因此我们每 次计算都选择方便简单的一个答案 . 在 这种方法中的大部分等号都是在这种情况下成立的 。
算子 具有下列基本性质：
性质1 ，即 累次积分.
性质2 的作用是线性的，即
.
性质3 如果 ，则
.
这些性质不难用 的性质来验证. 进一步，我们给出以下重要的计算公式. 为了方便记忆，我们形象地给每一个公式起了一个名字
（1） 解析展开法 或 解析相除法 ：
对 次多项式 ，如果 在 处解析且可以展开成
,
其中 是 次多项式，而 为 次以上的所高次项，则
.
（2） 代换法 ：
如果 ，那么 .
（3） 二项式法 ：
对（1），只要注意到 更简单地看，将 按升幂排列后作除法 ，设在第 步时得到商 和余式 ，它们必然是 次多项式和形如
的多项式. 按照除法关系我们有 . 从而
这样也得到同样形式的结果.
对（2），从上节的重要公式（4.5），即 ，可直接得知.
对（3），，名字来源之前证明定理 4.2 中使用的二项式定理. 事实上，
从而，
利用该结果，我们得到
求逆便得到结果.
解析展开法一个最直接和最常用的实例是
从代换法可以获得下列结果：
其中 . 事实上，对上诉三角函数我们考虑辅助函数 . 用代换法得到
.
分别取其实部和虚部就获得我们需要的结果.
在 的情形下物品们不能使用代换法，但可以使用二项式法. 事实上，
.
对于非齐次线性方程（4.1），当其非齐次项 为某几类特殊函数时，出了可用算子解法外. 还有比较系数法和 Laplace 变换法等简便的方法.
其中
Sol:
由于 对函数 不满足 代换法的条件，因此先用代换法计算 ，再对所得结果用二项式法，得
Sol:
既然出现三角函数，首先用辅助函数 化成指数函数问题. 考虑辅助方程
显然 使得 ，而且还有多项式因子 ，故不能用代换法解决，而要用二项式法和解析展开法. 因此
取虚部得到
说实话蛮绝的，计算量有点大，但是还是蛮好理解的.
Sol:
基本思想是配项并利用二次项法使 变成 的直接积分.
