Question

y=2sin3x的反函数

Answer 1

y=2sin3x的反函数是：y=1/3arcsin(x/2)。一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的。(不一定是整个数域内的)

解题过程

y=2sin3x

sin3x=y/2

3x=arcsin(y/2)

x=1/3arcsin(y/2)

y=2sin3x的反函数是：y=1/3arcsin(x/2)

反函数与原函数的转化

1、确定原函数的值域；

2、解方程求出x；

3、交换x,y，标明定义域。

例如：求函数y=x²，x>0的反函数。

解：因为x>0，所以x²>0，y>0。

解y=x²得x=√y。

性质

反函数其实就是y=f（x）中，x和y互换了角色

（1）函数f（x）与他的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；

（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0}且f(x)=C（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C},值域为{0}）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一切隐函数具有反函数；

（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；

（8）反函数是相互的且具有唯一性；

（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。