Question

已知函数f(x)=e-(a+e)x2+ax当a=-e时,求f(x

Answer 1

(1)f(x)=e＾x-(a十e)x²十ax
a=-e代入
f(x)=e＾x-ex
f'(x)=e＾x-e，
x〈1，f'(x)〈0,减；
x〉1,f'(x)〉0,增；
x=1，极小值点，f(1)=0
(2)f(x)=e＾x-(a十e)x²十ax
f'(x)=e＾x-2(a十e)x十a
f''(x)=e＾x-2(a十e)，
a十e≦0，a≦-e，f''(x)〉0,图像凹向上，与x轴最多两个交点。不合题意。
a〉-e，e＾x〈2(a十e)，x〈ln[2(a十e)]，f''(x)〈0,凹向下；
x〉ln[2(a十e)]，f''(x)〉0,凹向上；
此时与x轴可能最多有三个交点，还需要继续讨论。
x=ln[2(a十e)]是反弯点。
分析一下：
f'(x)=e＾x-2(a十e)x十a=0
e＾x=2(a十e)x-a，
看成是y=e＾x，与y=2(a十e)x-a
的交点。
考察两者相切的条件，
(e＾x)'=e＾x=2(a十e)，x=ln[2(a十e)],正好是反弯点处。
代入直线方程：
2(a十e)=2(a十e)ln[2(a十e)]-a
ln[2(a十e)/e]=a/[2(a十e)]
2(a/e十1)=e＾[1/2(1十e/a)]
令2(a十e)=t〉0，a=t/2-e
t/e=e＾((t/2-e)/t)=e＾(t²/2-e/t)
t=e＾(1十a/t)
a十e〉0，a〉-e，
a=0,t=e，是一解。
g(t)=e＾(t²/2十e/t)-t
g'(t)=(t-e/t²)×e＾(t²/2十e/t)-1