Question

微分方程-非齐次线性方程组的通解

Answer 1

本文根据之前的结果进一步给出非齐次线性方程组

的解的结构. 我们假设 是区间 上的 阶连续矩阵函数， 是区间 上的 维连续列向量函数. 当 ，方程组（3.15）变为（3.9）. 我们称方程组（3.9）时方程组（3.15）相应的齐次线性方程组.

容易验证，方程组（3.15）的解与方程组（3.9）的解之间有如下关系：如果 和 是方程组（3.15）的两个解，则 是相应的齐次线性方程组（3.9）的解；反之，如果 和 分别是方程组（3.15）和方程组（3.9）的解，则 也是当成组（3.15）的一组解. 一般地，非齐次线性方程组的通解结构如下：

若 是方程组（3.15）的某个解，则方程组（3.15）的任一解 都可以表示为

其中 是 维常数列向量， 是相应齐次方程组（3.9）的基解矩阵.

由方程组（3.15）的解与方程组（3.9）的解之间的关系知， 是齐次方程组（3.9）的解. 由之前的只是，存在一个 维常数列向量 ，使得 ，从而得到（3.16）.

定理 3.4 表明，要找出方程组（3.15）的全部解，只需找出它的一个特解以及它相应的齐次线性方程组（3.9）的基解矩阵即可. 下面我们运用 常数变易法 来证明：只要找到齐次方程组（3.9）的基解矩阵 ，就能切丁非齐次线性方程组（3.15）的一个特解，从而给出其通解.

这就是下面的定理：

若矩阵函数 是齐次线性方程组（3.9）的基解矩阵，则非齐次线性方程组（3.15）的通解为

其中 为 维常数列向量. 方程组（3.15）满足初值条件 的解为

其中

由于我们在证明中用到的方法i奥做常数变易法，因此，我们把（3.17）或（3.18）称为 常数变易公式 .

由之前知识，齐次方程组（3.9）的通解为 ，其中 为任意 维常数列向量. 现在我们把常数向量 变易为 的待定列向量函数 ，以期寻找非齐次线性方程组（3.15）的形如

的特解. 把（3.19）带入非齐次线性方程组（3.15），得到

由于 是齐次方程组（3.9）的解矩阵，所有

因此向量函数 满足微分方程组

因为 是方程组（3.9）的基解矩阵，所以它的逆 存在. 从而由（3.20）得

对上式两边积分得到

其中 为常向量. 特别地，取 ，借的到方程组（3.15）得一个特解

再由定理 3.4 即得（3.17）并相应得到（3.18）. 定理得证.

尽管我们拥有了验证齐次线性方程组（3.9）得一个解矩阵是否为基解矩阵的方法，然而，要计算一个齐次线性微分方程组的基解矩阵仍然不是一件容易的事. 对常系数矩阵 的情形，之后会给出方法.